题目

如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E． （1） 求证：DE是⊙O的切线； （2） 若△ABC的边长为4，求EF的长度． 答案： 证明：如图1，连接OD， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线 解：如图2，连接AD，BF， ∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴ DC=12BC=2 ， FC=12AC=2 ．∵∠EDC=30°，∴ EC=12DC=1 ．∴FE=FC﹣EC=1．

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