题目

已知函数 . （1） 若函数 有零点, 求实数 的取值范围; （2） 证明:当 ， 时, ． 答案： 解：法1: 函数 f(x)=lnx+ax 的定义域为 (0,+∞) . 由 f(x)=lnx+ax , 得 f′(x)=1x−ax2=x−ax2 .   因为 a>0 ,则 x∈(0,a) 时, f′(x)<0 ; x∈(a,+∞) 时, f′(x)>0 .  所以函数 f(x) 在 (0,a) 上单调递减, 在 (a,+∞) 上单调递增.   当 x=a 时, [f(x)]min=lna+1 .   当 lna+1≤0 , 即 0<a≤1e 时, 又 f(1)=ln1+a=a>0 , 则函数 f(x) 有零点. 所以实数 a 的取值范围为 (0,1e] .  法2：函数 f(x)=lnx+ax 的定义域为 (0,+∞) . 由 f(x)=lnx+ax=0 , 得 a=−xlnx . 令 g(x)=−xlnx ，则 g′(x)=−(lnx+1) . 当 x∈(0,1e) 时, g′(x)>0 ; 当 x∈(1e,+∞) 时, g′(x)<0 . 所以函数 g(x) 在 (0,1e) 上单调递增, 在 (1e,+∞) 上单调递减. 故 x=1e 时, 函数 g(x) 取得最大值 g(1e)=−1eln1e=1e .  因而函数 f(x)=lnx+ax 有零点, 则 0<a≤1e . 所以实数 a 的取值范围为 (0,1e] . 解：要证明当 a≥2e 时, f(x)>e−x , 即证明当 x>0,a≥2e 时, lnx+ax>e−x , 即 xlnx+a>xe−x . 令 h(x)=xlnx+a , 则 h′(x)=lnx+1 . 当 0<x<1e 时, f′(x)<0 ;当 x>1e 时, f′(x)>0 . 所以函数 h(x) 在 (0,1e) 上单调递减, 在 (1e,+∞) 上单调递增. 当 x=1e 时, [h(x)]min=−1e+a .  于是,当 a≥2e 时, h(x)≥−1e+a≥1e.   ①      令 φ(x)=xe−x , 则 φ′(x)=e−x−xe−x=e−x(1−x) . 当 0<x<1 时, f′(x)>0 ;当 x>1 时, f′(x)<0 . 所以函数 φ(x) 在 (0,1) 上单调递增, 在 (1,+∞) 上单调递减. 当 x=1 时, [φ(x)]max=1e .      于是, 当 x>0 时, φ(x)≤1e.   ② 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.   故当 a≥2e 时, f(x)>e−x .

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