题目

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA=∠ABC.   （1） 求证：PA是⊙O的切线； （2） 证明： ； （3） 若BC=8，tan∠AFP= ，求DE的长. 答案： 证明：∵D是弦AC中点，∴OD⊥AC，∴PD是AC的中垂线，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°. 又∵∠PCA=∠ABC，∴∠PCA+∠CAB=90°，∴∠CAB+∠PAC=90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线； 证明：由（1）知∠ODA=∠OAP=90°， ∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴ AOPO=DOAO ，∴ OA2=OP⋅OD . 又 OA=12EF ，∴ 14EF2=OP⋅OD ，即 EF2=4OP⋅OD . 解：在Rt△ADF中，设AD=a，则DF=3a. OD=12BC=4 ，AO=OF=3a-4. ∵ OD2+AD2=AO2 ，即 42+a2=(3a−4)2 ，解得 a=245 ，∴DE=OE-OD=3a-8= 325 .

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