题目

已知函数 ． （1） 当 时，判断函数 的单调性； （2） 若关于 的方程 有两个不同实根 ，求实数 的取值范围，并证明 ． 答案： 解： a=1 时， f(x)=lnx+12x2−2x(x>0) ， 故 f′(x)=1x+x−2=x2−2x+1x2≥0 ， ∴f(x) 在 （0，+∞） 上单调递增 解：由题意可知 lnx=(a+1)x 有两解， 设直线 y=kx 与 y=lnx 相切，切点坐标为 (x0，y0) ， 则 {y0=kx0y0=lnx0k=1x0 ，解得 x0=e， y0=1， k=1e ， ∴0<a+1<1e ，即 −1<a<1e−1 ． ∴实数 a 的取值范围是 (−1，1e−1) ． 不妨设 x2>x1>0 ，则 lnx1=(a+1)x1， lnx2=(a+1)x2 ， 两式相加得： ln(x1x2)=(a+1)(x1+x2) ， 两式相减得： lnx2x1=(a+1)(x2−x1) ， ∴ln(x1x2)lnx2x1=x1+x2x2−x1 ，故 ln(x1x2)=x1+x2x2−x1•lnx2x1 ， 要证 x1x2>e2 ，只需证 x1+x2x2−x1•lnx2x1>2 ， 即证 lnx2x1>2(x2−x1)x1+x2=2(x2x1−1)1+x2x1 ， 令 t=x2x1>1 ，故只需证 lnt>2(t−1)1+t 在 （1，+∞） 恒成立即可． 令 g(t)=lnt−2(t−1)1+t(t>1) ， 则 g′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0 ， ∴ g(x) 在 （1，+∞） 上单调递增， ∴g（t）>g（1）=0 ， 即 lnt>2(t−1)1+t 在 （1，+∞） 恒成立． ∴x1•x2>e2 ．

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