题目

如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、 ， 且实数a、b满足 ． （1） 求A、B两点的坐标； （2） 如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AB的中点C的坐标是 ， 设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3） 如图2，在（2）的条件下，若 ， 点G是第二象限中一点，并且y轴平分 ． 点E是线段OB上一动点，连接AE交OC于点H，当点E在线段OB上运动的过程中，探究 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）． 答案： 解：∵a−2b+8+2a−b−20=0，∴{a−2b+8=02a−b−20=0，解得：{a=16b=12，∴A（16，0），B（0，12） 解：存在t，使得△OCP的面积等于△OCQ面积的2倍由（1）知，A（16，0），B（0，12），∴OA=16，OB=12，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=16−2t，∵C（8，6），∴SΔOCQ=12OQ×|xC|=12t×8=4t，SΔOCP=12OP×|yC|=12(16−2t)×6=48−6t，∵△OCP的面积等于△OCQ面积的2倍，∴48−6t=2×4t ，解得：t=247，∴当t=247时，△OCP的面积等于△OCQ面积的2倍； 解：2∠GOB+∠BAE=∠OHA，理由如下：∵∠COA+∠BOC=∠BOA=90°，∴∠OBA+∠BAO=90°，又∵∠COA=∠CAO，∴∠OBA=∠BOC，∵y轴平分∠GOC，∴∠GOB=∠BOC，∴∠GOB=∠OBA，∴OG∥BA，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥BA，∴∠FHA=∠BAE，∵OG∥FH，∴∠GOC=∠FHO，∴∠GOC+∠BAE=∠FHO+∠FHA，即∠GOC+∠BAE=∠OHA，∴2∠GOB+∠BAE=∠OHA．

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