题目

如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2a与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴将于点C（0，﹣ ）． （1） 求抛物线的解析式； （2） 若点D（2，n）是抛物线上的一点，在y轴左侧的抛物线上存在点T ， 使△TAD的面积等于△TBD的面积，求出所有满足条件的点T的坐标； （3） 直线y＝kx﹣k+2，与抛物线交于两点P、Q ， 其中在点P在第一象限，点Q在第二象限，PA交y轴于点M ， QA交y轴于点N ， 连接BM、BN ， 试判断△BMN的形状并证明你的结论． 答案： 解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣2a经过点B（1，0）、C（0， −14 ） ∴ {a+b−2a=00+0−2a=−14 解得： {a=18b=18 ∴抛物线的解析式为：y＝ 18 x2+ 18 x﹣ 14 解：当x＝2时，n＝ 18 ×22+ 18 ×2﹣ 14 ＝ 12 ∴D（2， 12 ） ①当点T在点A左侧时，如图1， ∵S△TAD＝S△TBD，且△TAD与△TBD有公共底边为TD ∴AB∥TD，即TD∥x轴 ∴yT＝yD＝ 12 18 x2+ 18 x﹣ 14 ＝ 12 解得：x1＝﹣3，x2＝2（即点D横坐标，舍去） ∴T（﹣3， 12 ） ②当点T在点A右侧时，如图2，设DT与x轴交点为P，过A作AE⊥DT于E，过B作BF⊥DT于F ∵S△TAD＝S△TBD，且△TAD与△TBD有公共底边为TD ∴AE＝BF 在△AEP与△BFP中， {∠APE=∠BPF∠AEP=∠BFP=90∘AE=BF ∴△AEP≌△BFP（AAS） ∴AP＝BP 即P为AB中点 由 18 x2+ 18 x﹣ 14 ＝0 解得：x1＝﹣2，x2＝1 ∴A（﹣2，0） ∴P（ −12 ，0） 设直线DP：y＝kx+c {2k+c=12−12k+c=0 解得： {k=15c=110 ∴直线DT：y＝ 15x+110 {y=15x+110y=18x2+18x−14 解得： {x1=2y1=12 （即点D，舍去） {x2=−75y2=−950 ∴T（ −75 ， −950 ） 综上所述，满足条件的点T的坐标为（﹣3， 12 ）与（ −75 ， −950 ） 解：△BMN是直角三角形，证明如下： 设x1为点P横坐标，x2为点Q的横坐标 {y=kx−k+2y=18x2+18x−14 整理得：x2+（1﹣8k）x+8k﹣18＝0 ∴x1+x2＝8k﹣1，x1x2＝8k﹣18 设M（0，m），N（0，n）则OM＝m，ON＝﹣n ∴直线AM解析式：y＝ m2x+m ，直线AN解析式：y＝ n2x+n {y=m2x+my=18x2+18x−14 解得： {x1=−2y1=0 {x2=1+4my2=3m+12 ∴P（1+4m，3m+ 12 ） 同理可得：Q（1+4n，3n+ 12 ） ∴ {1+4m+1+4n=8k−1(1+4m)(1+4n)=8k−18 整理得：mn＝﹣1 ∴m•|n|＝1 即OM•ON＝1 又OB＝1，即OM•ON＝OB2 ∴ OMOB=OBON ∴△BOM∽△NOB ∴∠OBM＝∠ONB ∴∠MBN＝∠OBM+∠OBN＝∠ONB+∠OBN＝90° ∴△BMN是直角三角形

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