题目

如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1） 判断OE与OF的大小关系？并说明理由； （2） 当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由； （3） 在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．直接写出答案，不需说明理由。 答案： 解：OE=OF，理由如下：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO，∴OE=OF． 解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：∵OE=OF，点O是AC的中点，∴四边形AECF是平行四边形，又∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4= 12×180° =90°，即∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形 解：当△ABC是直角三角形时，即∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由如下：由（2）证明可知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，又∵∠ACB=90°，CE，CN分别是∠ACB与∠ACB的外角的平分线，∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，∴AC⊥MN，∴四边形AECF是正方形．

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