题目

某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量 （单位：千克）与施用肥料 （单位：千克）满足如下关系： ，单株成本投入（含施肥、人工等）为 元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 （单位：元）. （1） 求 的函数关系式； （2） 当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 答案： 解：由题意得： f(x)=15M(x)−30x ， f(x)={15×5(x2+3)−30x，0≤x≤215×50x1+x−30x+25，2<x≤5={75x2−30x+225，0≤x≤2750x1+x−30x+25， 2<x≤5 解：由（1）中 f(x)={75x2−30x+225，0≤x≤2，750x1+x−30x+25， 2<x≤5. 得 f(x)={75(x−15)2+222，0≤x≤2，805−30[251+x+(1+x)]， 2<x≤5. （i）当 0≤x≤2 时， f(x)max=f(2)=465 ； （ii）当 2<x≤5 时， f(x)=805−30[251+x+(1+x)]≤805−30×2251+x⋅(1+x)=505 当且仅当 251+x=1+x 时，即 x=4 时等号成立. 因为 465<505 ，所以当 x=4 时， f(x)max=505 ， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.

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