题目

两个等腰直角三角形如图放置，∠B=∠CAD=90°，AB=BC= cm，AC=AD，垂直于CD的直线a从点C出发，以每秒 cm的速度沿CD方向匀速平移，与CD交于点E，与折线BAD交于点F；与此同时，点G从点D出发，以每秒1cm的速度沿着DA的方向运动；当点G落在直线a上，点G与直线a同时停止运动；设运动时间为t秒（t>0）. （1） 填空：CD=cm； （2） 连接EG、FG，设△EFG的面积为y，求y与t之间的函数关系式，并写出相应t的取值范围； （3） 是否存在某一时刻t（0<t<2），作∠ADC的平分线DM交EF于点M，是否存在点M是EF的中点？若存在，求此时的t值；若不存在，请说明理由。 答案： 【1】4 2 解：由题意可得，当t=2时，直线a过点A；点G在水平方向上的移动速度为 22 cm/秒，由此可得当t= 83 时，直线a过点G；由此可分以下两种情况讨论y与t间的函数关系：①如图1，当 0<t≤2 时，过点G作GM⊥CD于点M，GH⊥EF于点H，由题意可得EF=BC= 22 ，CE= 2t ，MD= 22 GD= 22t ，GH=ME，∴GH=CD-CE-MD= 42−322t ，∴y=S△EFG= 12 EF·GH= 12×22(42−322t)=8−3t （ 0<t≤2 ），即：当 0<t≤2 时， y=8−3t ；②如图2，当 2<t<83 时，过点G作GN⊥CD于点N，由题意可得EF=DF=CD-CF= 42−2t ，GN=DN= 22 DG= 22t ，∴FN=CD-CF-DN= 42−2t−22t=42−322t ，∴y=S△EFG= 12 EF·FN= 12×(42−2t)(42−322t) ，化简整理得：当 2<t<83 时， y=32t2−10t+16 ；综上所述，y与t间的函数关系式为：①当 0<t≤2 时， y=8−3t ；②当 2<t<83 时， y=32t2−10t+16 ； 解：存在符合要求的点M，如图3，当DM平分∠ADC时，延长DM交AB的延长线于点Q，过点D作DN⊥AB，并交BA的延长线于点N，∵∠ABC=∠CAD=90°，AB=BC，AC=AD，∴∠ACB=∠ACD=∠ADC=45°，∴∠BCD=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD，∴∠Q=∠CDQ，∠DAN=∠ADC=45°，∵DM平分∠ADC，DN⊥AB于点N，∴∠ADQ=∠CDQ=∠Q，∠DAN=∠ADN=45°，∴AQ=AD=4，AN=DN= 22 AD= 22 ，∴QN=AQ+AN= 4+22 ，由题意可知EF⊥AB，又∵AB∥CD，DN⊥AB，∴可得四边形EFDN是矩形，∴EF=DN，EN=DF，∵M为EF的中点，∴EM= 12 EF = 12 DN，∵DF∥DN，∴△QEM∽△QNB，∴QE：QN=EM：DN=1：2，∴QE= 12 QN= 2+2 ，∴DF=EN=QN-QE= 2+2 ，∴CF=CD-DF= 42−(2+2)=32−2 ，∴ t=(32−2)÷2=3−2 .

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