题目

设m为给定的实常数，若函数 在其定义域内存在实数 ，使得 成立，则称函数 为“ 函数”． （1） 若函数 为“ 函数”，求实数 的值； （2） 若函数 为“ 函数”，求实数a的取值范围； （3） 已知 为“ 函数”，设 ．若对任意的 ， ，当 时，都有 成立，求实数 的最大值． 答案： 解：由 f(x)=2x 为“ G(2) 函数”，得 f(x0+2)=f(x0)+f(2) 即 2x0+2=2x0+22 ，解得 x0=log243 ，故实数 x0 的值为 log243 ； 由函数 f(x)=lgax2+1 为“ G(1) 函数”可知，存在实数 x0 ， 使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1) ， lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2 ， 即 a(x0+1)2+1=a22(x02+1) ；由 ax2+1>0 ，得 a>0 ，整理得 (a−2)x02+2ax0+2a−2=0 ． ①当 a=2 时， x0=−12 ，符合题意； ②当 a≠2 时，由 Δ=4a2−4(a−2)(2a−2)≥0 ，即 a2−6a+4≤0 ， 解得 3−5≤a≤3+5 且 a≠2 ；综上，实数a的取值范围是 [3−5，3+5] ； 由 f(x)=x+b 为“ G(0) 函数”，得 f(x0+0)=f(x0)+f(0) ， 即 f(0)=0 ，从而 b=0 ， f(x)=x ， 不防设 x1>x2 ，则由 g(x1)−g(x2)f(x1)−f(x2)>2 ， 即 g(x1)−g(x2)x1−x2>2 ， 得 g(x1)−2x1>g(x2)−2x2 ，令 F(x)=g(x)−2x ， 则 F(x) 在区间 [0，t] 上单调递增， 又 F(x)=x|x−4|−2x={x2−6x，x≥42x−x2，x<4 ，如图，可知 0<t≤1 ，故实数 t 的最大值为1．

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