题目

已知函数 . （1） 求函数 的单调递增区间； （2） 若函数 ， 且 ，求函数 在区间 上的取值范围. 答案： 由题意可得 sin(x+π6)=sin[(x−π3)+π2]=cos(x−π3) ， 所以， f(x)=−sin(x−π3)cos(x−π3)+cos2(x−π3) =−12sin(2x−2π3)+12[cos(2x−2π3)+1]=−12sin(2x−2π3)+cos12(2x−2π3)+12 =−12sin(2x+π3−π)+12cos(2x+π3−π)+12=12sin(2x+π3)−12cos(2x+π3)+12 =22sin(2x+π3−π4)+12=22sin(2x+π12)+12 ， −π2+2kπ≤2x+π12≤π2+2kπ(k∈Z) ，解得 −7π24+kπ≤x≤5π24+kπ(k∈Z) ， 所以函数 f(x) 的单调递增区间为 [kπ−7π24,kπ+5π24](k∈Z) ； 由题意及（1）可知 g(x)=22sin(2x+2φ) ， 因为 0≤x≤π2 ， 2φ≤2x+2φ≤π+2φ ， 又 φ∈(0,π) ，且 {tanφ=sinφcosφ=34sin2φ+cos2φ=1sinφ>0 ，所以 sinφ=35 ， cosφ=45 ，则 0<φ<π4 ， 则 0<2φ<π2 ， π<π+2φ<3π2 ， 所以 sin(π+2φ)=−sin2φ=−2sinφcosφ=−2425 ，所以 −2425≤sin(2x+2φ)≤1 ， 则 −12225≤g(x)≤22 ，即 g(x) 在区间 [0,π2] 上的取值范围为 [−12225,22] .

查看本题答案和解析