题目

定义：在平面直角坐标系 中，点P的坐标为 ，当 时，Q点坐标为 ；当 时，Q点坐标为 ，则称点Q为点P的m分变换点（其中m为常数）．例如： 的0分变换点坐标为 ． （1） 点 的1分变换点坐标为；点 的1分变换点在反比例函数 图像上，则k=；若点 的1分变换点直线 上，则a=； （2） 若点P在二次函数 的图像上，点Q为点P的3分变换点． ①直接写出点Q所在函数的解析式； ②求点Q所在函数的图象与直线 交点坐标； ③当 时，点Q所在函数的函数值 ，直接写出t的取值范围； （3） 点 ， ，若点P在二次函数 的图像上，点Q为点P的m分变换点．当点Q所在函数的图象与线段 有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 答案： 【1】（－5，－7）【2】4【3】8 解：①设点Q的坐标为（a，b） 当x＞3时，若点P的3分变换点为Q（a，b），则a＝－x，b＝－y， ∴x＝－a，y＝－b， 将x＝－a，y＝－b代入 y=x2−2x−3 得 −b=(−a)2−2(−a)−3 ， 整理得： b=−a2−2a+3 ， ∴点Q所在函数的关系式为 y=−x2−2x+3 （x＜－3）， 当x≤3时，若点P的3分变换点为Q（a，b），则a＝－x，b＝－y＋2， ∴x＝－a，y＝－b＋2 将x＝－a，y＝－b＋2代入 y=x2−2x−3 得 −b+2=(−a)2−2(−a)−3 ， 整理得： b=−a2−2a+5 ， ∴点Q所在函数的关系式为 y=−x2−2x+5 （x≥－3）， 综上所述，点Q所在函数的关系式为 {y=−x2−2x+3，(x<−3)y=−x2−2x+5，(x≥−3) ②将y＝－5代入 y=−x2−2x+3 得 −5=−x2−2x+3 解得： x1=−4，x2=2 （舍去） 将y＝－5代入 y=−x2−2x+5 得 −5=−x2−2x+5 解得： x1=−1+11，x2=−1−11 （舍去） 综上所述，点 Q 所在函数的图象与直线 y=−5 交点坐标为（－4，－5）或（ −1+11 ，－5） ③如图， 由②可知 {y=−x2−2x+3，(x<−3)y=−x2−2x+5，(x≥−3) 经过点（－4，－5） ∵ y=−x2−2x+5，(x≥−3) =−(x+1)2+6，(x≥−3) 所以此抛物线的顶点坐标为（－1，6）， 将x＝－3代入 y=−x2−2x+3 得y＝0， 将y＝0代入 y=−x2−2x+5 得 x1=−1+6，x2=−1−6 （舍去） ∵当 −4≤x≤t 时，点 Q 所在函数的函数值 −5≤y≤6 ， ∴t的取值范围为 −1+6≤t≤−1+11 ； 4≤m<25 或 −2+6≤m<6 或 −23<m≤−2−2

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