题目

已知焦点在 轴上的椭圆 ，其离心率为 ，且经过点 . （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 过点 的直线 （斜率存在且不为0）与椭圆 交于两点 ， ，设 ，且满足 ，求实数 的取值范围. 答案： 解：设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) ， 依题意得 {a2=b2+c2(2)2a2+(62)2b2=1e=ca=12 ， 解得: a=2 ， b=3 所以椭圆的标准方程是 x24+y23=1 解：设直线 l 为 y=kx+m ，联立 {y=kx+mx24+y23=1 ，整理得 (3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0 ， 所以 x1+x2=−8km3+4k2   ,x1x2=4m2−123+4k2 ， 由 Δ=64k2m2−4(4m2−12)(3+4k2)>0 ，整理得 m2<3+4k2 ，① 设 T(x1,y1)、Q(x2,y2) ， TQ 的中点 H(x0,y0) ， 则 x0=x1+x22=−4km3+4k2   ,y0=kx0+m=3m3+4k2 ，所以 H(−4km3+4k2 ,3m3+4k2) ， 由 |DT|=|DQ| ，得 DH⊥TQ ，所以 kDH=−1k=3m3+4k2−312−4km3+4k2 ， 整理得 m=−312(3+4k2),k≠0 ，② 由②得 m<−34 ， 将②代入①得 m2+43m<0 ，解得 −43<m<0 ， 综上所述： m 的取值范围是 −43<m<−34

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