题目

已知 ． （Ⅰ）求函数 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求函数 在 的取值范围． 答案：解： f(x)=sin2x+cos(2x+π6)=sin2x+32cos2x−12sin2x=12sin2x+32cos2x=sin(2x+π3) （Ⅰ） T=2π2=π 因为 −π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z 所以 −5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z 函数 y=f(x) 的单调递增区间为 [−5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z ． （Ⅱ） y=f(x)⋅f(x+π4)=sin(2x+π3)⋅sin(2x+π2+π3) =sin(2x+π3)⋅cos(2x+π3)=12sin(4x+2π3) 因为 0≤x≤π4 ，所以 2π3≤4x+2π3≤5π3，y=12sin(4x+2π3)∈[−12，34] 因此函数 y=f(x)⋅f(x+π4) 在 x∈[0，π4] 的取值范围为 [−12，34] ．

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