题目

设函数 ， ． （1） 若 ， 求函数的单调区间和最值； （2） 求函数的零点个数，并说明理由． 答案： 解：函数的定义域为(0，+∞)，当a=1时，f(x)=−12x2+lnx+12，f′(x)=−x+1x=−x2+1x，令f′(x)=0，得x=1；由f′(x)>0，得0<x<1；由f′(x)<0，得x>1．所以，增区间为(0，1)，减区间为(1，+∞)．当x=1时，函数f(x)有最大值为f(1)=0，无最小值 解：f(x)=−12x2+(a−1)x+alnx+a2，a>0，f′(x)=−x+(a−1)+ax=−x2+(a−1)x+ax=−(x+1)(x−a)x，令f′(x)=0，得x=−1（舍）或x=a；由f′(x)>0，得0<x<a；由f′(x)<0，得x>a．所以，增区间为(0，a)，减区间为(a，+∞)．函数有唯一的极大值点x=a，f(a)=−12a2+(a−1)a+alna+a2=a(12a−12+lna)，令g(a)=12a−12+lna，a>0．因为g′(a)=12a+1a>0恒成立，函数g(a)为增函数，且g(1)=12−12+ln1=0，①0<a<1时，g(a)<0，即f(a)<0函数f(x)一定没有零点．②a=1时，g(a)=0，即f(a)=0函数f(x)有唯一的零点x=1．③a>1时，g(a)>0，即f(a)>0，f(x)=−12x2+(a−1)x+alnx+a2，且f(1e)=−12e2+ae−1e+aln1e+a2=a(1e−12)−12e2−1e<0，f(e4a)=−12e8a+(a−1)e4a+alne4a+a2，=−12e4a(e4a−2a+2)+4a2+a2，令h(x)=ex−x−1(x>0)，则h′(x)=ex−1，当x>0时，h′(x)>0成立，所以h(x)>h(0)=0，所以ex>x+1(x>0)，∴e4a>4a+1，a>0，所以f(e4a)≤−12(4a+1)(2a+3)+4a2+a2=−12(13a+3)<0，在区间[1e，a]上有唯一零点，在区间[a，e4a]上有唯一零点，函数f(x)有两个不同的零点．综上所述：①0<a<1时，函数f(x)一定没有零点．②a=1时，函数f(x)有唯一的零点．③a>1时，函数f(x)有两个不同的零点．

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