题目

某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工 人（ ，且 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员 人，留岗员工可多创利润 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员 人，留岗员工可多创利润 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费. （1） 设公司裁员人数为 ，写出公司获得的经济效益 （千元）关于 的函数（经济效益=在职人员创利总额—被裁员工生活费）； （2） 为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 答案： 解：设公司裁员人数为 x ，获得的经济效益为 y 千元， 则由题意得当 0<x≤0.6m 时， y=(2m−x)(100+x)−20x ， 当 35m≤x≤12×2m 时， y=(2m−x)(100+2x)−20x ， 所以 y={(100+x)(2m−x)−20x,0<x<0.6m,x∈N(100+2x)(2m−x)−20x,0.6m<x≤m,x∈N 解：当 0<x≤0.6m,  x∈N 时，对称轴 x=m−60>0 ， ①当 0<m−60<0.6m ，即 60<m<150 ， 所以 x=m−60 时， y 取得最大值为 y1=m2+80m+3600 ， ②当 0.6m<x≤m, x∈N 时，对称轴 x=m−30 ， 当 m−30≤0.6m ，即 60<m≤75 ， y 的取值小于 y2=(100+1.2×70)×1.4×70−1.2×70=17948 ， 当 m−30>0.6m ，即 75<m<150 时， y 取得最大值为 y3=2m2+80m+1800 ， 显然， m=80,⋯,140 都有 y3>y2 ， 当 60<m<150 时， y3−y1=2m2+80m+1800−(m2+80m+3600)=m2−1800>0 ， 综上所述：当 x=m−30 时， y 取得最大值， 所以该公司应裁员 m−30 人.

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