题目

定义域为 的函数 满足： ，且对于任意实数 ， 恒有 ，当 时， . （1） 求 的值，并证明当 时， ； （2） 判断函数 在 上的单调性并加以证明； （3） 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：由已知，对于任意实数 x ， y 恒有 f(x+y)=f(x)f(y) ， 令 x=1 ， y=0 ，可得 f(1)=f(1)f(0) ，所以 f(0)=1 . 因为当 x>0 时， 0<f(x)<1 ，所以 f(1)≠0 ，故 f(0)=1 . 令 y=−x ，设 x<0 ，则 f(0)=f(x)f(−x) ， f(x)=1f(−x) ， 因为 −x>0 ， 0<f(−x)<1 ，所以 f(x)>1 . 解：设 x1<x2 ，则 x1−x2<0 ， f(x1−x2)>1 ， f(x1)−f(x2)=f((x1−x2)+x2)−f(x2)=f(x1−x2)f(x2)−f(x2) =f(x2)(f(x1−x2)−1) ， 由（1）知 f(x2)>0 ， f(x1−x2)>1 ，所以 f(x1)−f(x2)>0 ，即 f(x1)>f(x2) ， 所以函数 f(x) 在 R 上为减函数. 解：由 f(−12)=2 得 f(−1)=4 所以 f((a2−a−2)x2−(2a−1)2x+2)>4=f(−1) 即 (a2−a−2)x2−(2a−1)2x+2<−1 ， 上式等价于 (a2−a)(x2−4x)<2x2+x−3 对任意 x∈[1,3] 恒成立， 因为 x∈[1,3] ，所以 x2−4x<0 所以 a2−a>2x2+x−3x2−4x=2+3(3x−1)x2−4x 对任意 x∈[1,3] 恒成立， 设 3x−1=t∈[2,8] ， 2+3(3x−1)x2−4x=2+27tt2−10t−11=2+27t−11t−10≤0 （ t=2 时取等）， 所以 a2−a>0 ， 解得 a<0 或 a>1 .

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