题目

已知向量 =（cos ，sin ）， =（cos ，﹣sin ），函数f（x）= • ﹣m| + |+1，x∈[﹣ ， ]，m∈R． （1） 当m=0时，求f（ ）的值； （2） 若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值； （3） 是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+ m2 ， x∈[﹣ ， ]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 答案： 解： a→ • b→ =（cos 3x2 ，sin 3x2 ）•（cos x2 ，﹣sin x2 ）=cos 3x2 cos x2 ﹣sin 3x2 sin x2 =cos（ 3x2 + x2 ）=cos2x， 当m=0时，f（x）= a→ • b→ +1=cos2x+1，则f（ π6 ）=cos（2× π6 ）+1=cos π3 +1= 12+1=32 ； 解：∵x∈[﹣ π3 ， π4 ]， ∴| a→ + b→ |= 2+2cos2x = 4cos2x =2cosx，则f（x）= a→ • b→ ﹣m| a→ + b→ |+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，令t=cosx，则 12 ≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t= m2 ，①当 m2 ＜ 12 ，即m＜1时，当t= 12 时，函数取得最小值此时最小值y= 12 ﹣m=﹣1，得m= 32 （舍），②当 12 ≤ m2 ≤1，即m＜1时，当t= m2 时，函数取得最小值此时最小值y=﹣ m22 =﹣1，得m= 2 ，③当 m2 ＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m= 32 （舍），综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m= 2 ． 解：令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+ 2449 m2=0，得cosx= 3m7 或 4m7 ， ∴方程cosx= 3m7 或 4m7 在x∈[﹣ π3 ， π4 ]上有四个不同的实根，则 {22≤3m7<122≤4m7<13m7≠4m7 ，得 {726≤m<73728≤m<74m≠0 ，则 726 ≤m＜ 74 ，即实数m的取值范围是 726 ≤m＜ 74 ．

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