题目

（某工厂生产零件A ， 工人甲生产一件零件A ， 是一等品、二等品、三等品的概率分别为 ，工人乙生产一件零件A ， 是一等品、二等品、三等品的概率分别为 ．已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元. （1） 试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏； （2） 为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A ， 如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i= 4， 3， 2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率． ①写出P0 ， P8的值； ②求决赛甲获胜的概率． 答案： 解：记甲乙各生产一件零件给工厂带来的效益分别为 X 元、 Y 元， 随机变量 X ， Y 的分布列分别为 X 10 5 2 P 14 12 14 Y 10 5 2 P 13 13 13 所以 EX=14×10+12×5+14×2=112 ， EY=13×10+13×5+13×2=173 ， 所以 EX<EY ，即乙的技术更好 解：① P0 表示的是甲得 −4 分时，甲最终获胜的概率，所以 P0=0 ， P8 表示的是甲得4分时，甲最终获胜的概率，所以 P8=1 ； ②设每轮比赛甲得分为 X ，则 每轮比赛甲得1分的概率 P(X=1)=14×(13+13)+12×13=13 ， 甲得0分的概率 P(X=0)=14×13+12×13+14×13=13 ， 甲得 −1 分的概率 P(X=−1)=12×13+14×(13+13)=13 ， 所以甲得 i(i=−3，−2，⋅⋅⋅3) 时，最终获胜有以下三种情况： ⑴下一轮得1分并最终获胜，概率为 13Pi+4+1 ； ⑵下一轮得0分并最终获胜，概率为 13Pi+4 ； ⑶下一轮得 −1 分并最终获胜，概率为 13Pi+4−1 ； 所以 Pn=13Pn−1+13Pn+13Pn+1⇒2Pn=Pn−1+Pn+1，(n=2，3，4，5，6，7) ， 所以 {Pn} 是等差数列， 则 P4=P0+P82=12 ， 即决赛甲获胜的概率是 12

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