题目

已知椭圆的中心为 ， 离心率为.圆在的内部，半径为. ， 分别为和圆上的动点，且 ， 两点的最小距离为. （1） 建立适当的坐标系，求的方程； （2） ， 是上不同的两点，且直线与以为直径的圆的一个交点在圆上.求证：以为直径的圆过定点. 答案： 解：以O为坐标原点，椭圆C的长轴、短轴所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图.设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，依题意得{ca=22b−63=1−63a2=b2+c2，解得{a=2b=1c=1，所以C的方程为x22+y2=1. 解：解法一：因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.（i）当直线AB垂直于x轴时，不妨设A(63，63)，B(63，−63)，此时OA→⋅OB→=0，所以OA⊥OB，故以AB为直径的圆过点O.（ii）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2).因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离|m|k2+1=63，即3m2−2k2−2=0.由{y=kx+m，x22+y2=1，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0，所以x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−22k2+1，OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，=(1+k2)(2m2−22k2+1)+km(−4km2k2+1)+m2，=(1+k2)(2m2−2)+km(−4km)+m2(2k2+1)2k2+1，=3m2−2k2−22k2+1=0，所以OA⊥OB，故以AB为直径的圆过点O.综上，以AB为直径的圆过点O.解法二：因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.设直线AB与圆O相切于点M(x0，y0). （i）当y0=0时，直线AB垂直于x轴，不妨设A(63，63)，B(63，−63)，此时OA→⋅OB→=0，所以OA⊥OB，故以AB为直径的圆过点O.（ii）当y0≠0时，直线AB的方程为y−y0=−x0y0(x−x0)，因为x02+y02=23，所以直线AB的方程为y=−x0y0x+23y0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由{y=−x0y0x+23y0x22+y2=1，得(18x02+9y02)x2−24x0x+8−18y02=0，所以x1+x2=24x018x02+9y02，x1x2=8−18y0218x02+9y02，因为x02+y02=23，所以x1+x2=24x06+9x02，x1x2=18x02−46+9x02，|OA|2+|OB|2−|AB|2=(|OM|2+|AM|2)+(|OM|2+|BM|2)−(|AM|+|BM|)2，=2|OM|2−2|AM||BM|=43−2|AM||BM|，=43−2[1+(−x0y0)2|x2−x0|]⋅1+(−x0y0)2|x0−x1|]，=43−2[1+(−x0y0)2][−x1x2+(x1+x2)x0−x02]，=43−2[1+(−x0y0)2](−18x02−46+9x02+24x026+9x02−x02)，=43−2(1+x0223−x02)(−18x02−46+9x02+24x026+9x02−x02)，=43−2⋅22−3x02⋅4−9x046+9x02，=43−43=0.所以|OA|2+|OB|2=|AB|2，即OA⊥OB，故以AB为直径的圆过点O.综上，以AB为直径的圆过点O.解法三：因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.（i）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2).因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离|m|k2+1=63，即3m2−2k2−2=0.由{y=kx+m，x22+y2=1得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0，所以x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−22k2+1，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m2k2+1，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=m2−2k22k2+1，x1x2+y1y2=2m2−22k2+1+m2−2k22k2+1=3m2−2k2−22k2+1=0.设P(x，y)是以AB为直径的圆N上的任意一点，由PA→⋅PB→=0，得(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0，化简得x2+y2−(x1+x2)x−(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0，故圆N的方程为x2+y2+4km2k2+1x−2m2k2+1y=0，它过定点O.（ii）当直线AB垂直于x轴时，不妨设A(63，63)，B(63，−63)，此时OA→⋅OB→=0，所以OA⊥OB，故以AB为直径的圆过点O.综上，以AB为直径的圆过点O.解法四：因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.（i）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2).因为AB与圆O相切，所以O到直线AB的距离|m|k2+1=63，即3m2−2k2−2=0.由{y=kx+m，x22+y2=1，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0，所以x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−22k2+1，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m2k2+1，以AB为直径的圆N的圆心为N(x1+x22，y1+y22)，即(−2km2k2+1，m2k2+1).半径r=|AB|2=121+k2|x2−x1|=121+k2(x1+x2)2−4x1x2=1+k22⋅16k2m2(2k2+1)2−8m2−82k2+1=1+k22⋅16k2−8m2+82k2+1=1+k2⋅4k2−2m2+22k2+1，以AB为直径的圆的方程为(x+2km2k2+1)2+(y−m2k2+1)2=(1+k2⋅4k2−2m2+22k2+1)2，整理得x2+y2+4km2k2+1x−2m2k2+1y=0，故以AB为直径的圆过定点O.（ii）当直线AB垂直于x轴时，不妨设A(63，63)，B(63，−63)，此时OA→⋅OB→=0，所以OA⊥OB，故以AB为直径的圆过点O.综上，以AB为直径的圆过点O.

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