题目

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线与轴交于点，与轴交于点． ①过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，试判断的形状，并说明理由；②设是轴上一点，当时，求点的坐标．答案：解：∵点A(2，4)在反比例函数y=k2x的图象上，∴4=k22，∴k2=8，∴反比例函数的表达式为y=8x；∵点B(m，−2)在反比例函数y=8x的图象上，∴−2=8m，∴m=−4，∴点B坐标为(−4，−2)，∵点A(2，4)，点B(−4，−2)在一次函数y=k1x+b的图象上∴{2k1+b=4−4k1+b=−2，解得{k1=1b=2∴一次函数的表达式为y=x+2 解：对于y=x+2，当x=0时，y=2，∴点C坐标为(0，2)，当y=0时，x+2=0，x=−2，∴点D坐标为(−2，0)①ΔACE是等腰直角三角形，理由：∵CE//x轴，∴点E的纵坐标为2，∵点E在反比例函数y=8x的图象上，∴点E的横坐标为4，∴点E的坐标为(4，2)，∴CE=4，由勾股定理得：AC=22+(4−2)2=22，AE=(4−2)2+(4−2)2=22，∴AC2+AE2=(22)2+(22)2=16=CE2，AC=AE，∴ΔACE是等腰直角三角形；②如图，由①知，OC=2，OD=2，在Rt△COD 中，由勾股定理得：CD=22，当点M在x轴负半轴上时，∵∠CMO=12∠DCO，∠CDO=∠CMO+∠MCD，∠CDO=∠DCO，∴∠CMO=∠DCM，∴DM=CD=22∴OM=OD+DM=2+22，∴点M的坐标为(−2−22，0)；当点M在x轴正半轴上时，根据对称性知点M的坐标为(2+22，0)．综上，点M坐标为(2+22，0)或(−2−22，0)．

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