题目

已知函数 . （1） 求函数 的周期和单调递增区间； （2） 若对于任意的 ，都有 ，求实数c的取值范围. 答案： 解：由题意 f(x)=12−sin2x+12cos(2x−π3) =12−1−cos2x2+12cos2x⋅12+12sin2x⋅32=34sin2x+34cos2x =32sin(2x+π3) ， ∴ 函数 f(x) 的周期 T=2πω=2π2=π ， 令 2x+π3∈(−π2+2kπ,π2+2kπ) ， (k∈Z) ， 解得 x∈(−5π12+kπ,π12+kπ) ， (k∈Z) . ∴ 函数 f(x) 的单调递增区间为 (−5π12+kπ,π12+kπ) ， (k∈Z) 解： ∵ x∈[0,π2] ， ∴ 2x+π3∈[π3,4π3] ， ∴ sin(2x+π3)∈[−32,1] ， ∴ f(x)∈[−34,32] ， ∴ 当 x∈[0,π2] 时， f(x)max=32 ， 又 对于任意的 x∈[0,π2] ，都有 f(x)≤c ， ∴ c≥32 .

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