题目

在△ABC中，∠ABC＝90°， ，M是BC上一点，连接AM                    （1） 如图1，若n＝1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM＝BN （2） 过点B作BP⊥AM ， P为垂足，连接CP并延长交AB于点Q ① 如图2，若n＝1，求证： ② 如图3，若M是BC的中点，直接写出tan∠BPQ的值（用含n的式子表示） 答案： 证明：如图1中，延长AM交CN于点D ∵AM⊥CN，∴∠ADC＝90°，∵∠ABC＝∠CBN=90°，∴∠BAM＋∠AMB＝90°，∠BCN＋∠CMD＝90°，∵∠AMB＝∠CMD，∴∠BAM＝∠BCN，∵ABBC=n=1∴AB=BC在△ABM和△CBN中∠BAM＝∠BCNAB=BC∠ABM=∠CBN∴△ABM≌△CBN（ASA），∴BM＝BN． ①证明：如图2中，过点C作CH∥AB交BP的延长线于H． ∴∠ABC+∠BCH=90°∵∠ABC=90°∴∠BCH=∠ABC=90°∵BP⊥AM，∴∠BPM＝90°，∴∠MPB＋∠AMB＝90°，∠MPB＋∠H＝90°， ∴∠AMB＝∠H，∵ABBC=n=1∴AB＝BC，在△ABM和△BCH中∠AMB＝∠H，∠ABC=∠BCHAB=BC∴△ABM≌△BCH（AAS）∴BM＝CH，∵CH∥BQ，∴PCPQ=CHBQ∴PCPQ=BMBQ②如图3中，过点C作CD∥AB交BP的延长线于D，作CE⊥BD于E．∵点M时BC的中点∴BC=2CM设CM=m，则BC＝2m，则AB＝2mn．∵AB：BC=n∴AB=2mn，∵∠DCB=∠ABM=90°，∠D=∠AMB∴△BCD∽△ABM∴CDBM=BCAB即CDm=2m2mn解之：CD＝mn，在Rt△BCD中，BD＝CD2+BC2=mn2+2m2∵m＞0，n＞0∴BD＝mn1＋4n2在Rt△AMB中AM＝AB2+MB2=4m2n2+m2=m4n2+1,∵S△AMB=12AM•BP＝12AB•BM，∴PB＝2mn·mm4n2+1=2mn1＋4n2∵S△BCD=12BD•CE＝12CD•BC，∴CE＝mn·2mmn1＋4n2=2m1＋4n2∵CE⊥BD，PM⊥BD，∴CE∥PM，∴BM：CM=BP：PE∵CM＝BM，∴BP=PE∴PE=2mn1＋4n2∵∠BPQ＝∠CPE，∴tan∠BPQ＝tan∠CPE在Rt△PCE中，tan∠CPE=NCPN=2m1+4n22mn1+4n2=1n∴tan∠BPQ=1n

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