题目

已知函数 ． （Ⅰ）当 时，求函数 的极值； （Ⅱ）讨论函数 的单调性； （Ⅲ）令 ，若对任意的 ， ，恒有 成立，求实数k的最大整数． 答案：解：（Ⅰ）因为 a=1 ，所以 f(x)=lnx+1x ，函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) . f′(x)=1x−1x2=x−1x2 ， 当 0<x<1 时， f′(x)<0,f(x) 单调递减， 当 x>1 时， f′(x)>0,f(x) 单调递增， 所以函数 f(x) 有极小值，其值为 f(1)=1 ， 函数 f(x) 没有极大值. 即函数 f(x) 有极小值1，无极大值； （Ⅱ）函数的定义域为 (0,+∞) ， f′(x)=1x−ax2=x−ax2 ． ⑴当 a≤0 时， f′(x)>0 ， ∴f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增． ⑵当 a>0 时， x∈(0,a) ， f′(x)<0 ， f(x) 单调递减， x∈(a,+∞) ， f′(x)>0 ， f(x) 单调递增． 综上所述：当 α≤0 时， f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增， 当 a>0 时， x∈(0,a) ， f(x) 单调递减， x∈(a,+∞) ， f(x) 单调递增； （Ⅲ）由（Ⅱ）知 f(x)min=f(a)=lna+1 ， ∴f(x)≥g(a) 恒成立，则只需 lna+1≥g(a) 恒成立， 则 lna+1≥a(k−5)−2a=k−5−2a ， ⇔lna+2a≥k−6 ， 令 h(a)=lna+2a ，则只需 h(a)min≥k−6 ， 则 h′(a)=1a−2a2=a−2a2 ， ∴a∈(0,2) ， h′(a)<0 ， h(a) 单调递减， α∈(2,+∞) ， h′(a)>0 ， h(a) 单调递增， h(a)min=h(2)=ln2+1 ， 即 ln2+1≥k−6 ， ∴k≤ln2+7 ， ∴k 的最大整数为7．

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