题目

如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x﹣15|+ =0（OA＞OC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在直线MN上的点D处，且tan∠CBD= （1） 求点B的坐标； （2） 求直线BN的解析式； （3） 将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0＜t≤13）的函数关系式． 答案： 解：∵|x﹣15|+ y−13 =0，∴x=15，y=13，∴OA=BC=15，AB=OC=13，∴B（15，13） 解：如图1，过D作EF⊥OA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD=BC=15，∠BDN=∠BCN=90°，∵tan∠CBD= 34 ，∴ DFBF = 34 ，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，∴CF=OE=15﹣12=3，DE=EF﹣DF=13﹣9=4，∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°，且∠ONM+∠CND=180°，∴∠ONM=∠CBD，∴ OMON = 34 ，∵DE∥ON，∴ MEDE = OMON = 34 ，且OE=3，∴ OM−34 = 34 ，解得OM=6，∴ON=8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y=kx+b可得 {b=815k+b=13 ，解得 {k=13b=8 ，∴直线BN的解析式为y= 13 x+8 解：设直线BN平移后交y轴于点N′，交AB于点B′，当点N′在x轴上方，即0＜t≤8时，如图2，由题意可知四边形BNN′B′为平行四边形，且NN′=t，∴S=NN′•OA=15t；当点N′在y轴负半轴上，即8＜t≤13时，设直线B′N′交x轴于点G，如图3，∵NN′=t，∴可设直线B′N′解析式为y= 13 x+8﹣t，令y=0，可得x=3t﹣24，∴OG=24，∵ON=8，NN′=t，∴ON′=t﹣8，∴S=S四边形BNN′B′﹣S△OGN′=15t﹣ 12 （t﹣8）（3t﹣24）=﹣ 32 t2+39t﹣96；综上可知S与t的函数关系式为S= {15t(0<t≤8)−32t2+39t−96(8<t≤13)

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