题目

已知数列{an}满足a1=a，an+1= （n∈N*）． （1） 求a2 ， a3 ， a4； （2） 猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 答案： 解：由an+1= 12−an ，可得a2= 12−a1 = 12−a ，a3= 12−a2 = 12−12-a = 2−a3−2a ，a4= 12−a3 = 12−2−a3-2a = 3−2a4−3a 解：猜测an= (n-1)-(n-2)an-(n-1)a （n∈N*）．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=a1=a，右边= (1-1)-(1-2)a1-(1-1)a =a，猜测成立．②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，即ak= (k-1)-(k-2)ak-(k-1)a ．则当n=k+1时，ak+1= 12−ak = 12−(k-1)-(k-2)ak-(k-1)a= k(k-1)a2[k-(k-1)a]-[(k-1)-(k-2)a] = k(k-1)a(k+1)-ka ．故当n=k+1时，猜测也成立．由①，②可知，对任意n∈N*都有an= (n-1)-(n-2)an-(n-1)a 成立

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