题目

如图所示， 和 都是等边三角形，且 在同一直线上，连结 交 于M，连接 交 于N，连结 . 求证： （1） ； （2） ； （3） 是等边三角形. 答案： 证明： ∵ΔABC 和 ΔADE 是等边三角形 ∴AB=AC,AD=AE ∠BAC=∠EAD=60∘ ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD, 即 ∠BAD=∠CAE, 在 ΔBAD 和 ΔCAE 中 ∵{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ∴ΔBAD≅ΔCAE(SAS) ∴BD=CE 证明：由 (1) 知 ΔBAD≅ΔCAE ∴∠ABD=∠ACE, 又 ∵∠BAC+∠CAN+∠NAE=180∘, 由 (1) 可证 ∠BAC=∠NAE=60∘ ∴∠CAN=60∘ ∴∠BAM=∠CAN, 在 ΔABM 和 ΔACN ∵{∠BAM=∠CANAB=AC∠ABM=∠ACN ∴ΔABM≅ΔACN(ASA) 证明：由 (2) 知 ΔABM≅ΔACN ∴AM=AN, 又知 ∠MAN=60∘ ∴ΔAMN 是等边三角形.

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