题目

在矩形ABCD中，AB=4 ，AD=2 ，将△ABD沿BD折起，使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ． （1） 当θ=90°时，求A′C的长； （2） 当cosθ= 时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值． 答案： 解：在图1中，过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE．∵AB=4 5 ，AD=2 5 ，∴BD= AB2+AD2 =10．∴ AE=AD⋅ABBD=45⋅2510=4 ，BE= AB2−AE2 =8，cos∠CBE= BCBD = 55 ．在△BCE中，由余弦定理得CE= BC2+BE2−2BC⋅BE⋅cos∠CBE =2 13 ．∵θ=90°，∴A′E⊥平面ABCD，∴A′E⊥CE．∴|A′C|= A'E2+CE2 =2 17 ． DE= AD2−AE2 =2．∵tan∠FDE= EFDE=BCDC=12 ，∴EF=1，DF= DE2+EF2 = 5 ．当 cosθ=14 即cos∠A′EF= 14 时， A'F=42+12−2⋅4⋅1⋅cosθ=15 ．∴A′E2=A′F2+EF2，∴∠A'FE=90°又BD⊥AE，BD⊥EF，∴BD⊥平面A'EF，∴BD⊥A'F∴A'F⊥平面ABCD．以F为原点，以FC为x轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA′为z轴建立空间直角坐标系如图所示：∴A′（0，0， 15 ），D（﹣ 5 ，0，0），B（3 5 ，2 5 ，0），C（3 5 ，0，0）．∴ CB→ =（0，2 5 ，0）， DB→ =（4 5 ，2 5 ，0）， DA'→ =（ 5 ，0， 15 ）．设平面A′BD的法向量为 n→ =（x，y，z），则 {n→⋅DB→=0n→⋅DA'→=0 ，∴ {45x+25y=05x+15z=0 ，令z=1得 n→ =（﹣ 3 ，2 3 ，1）．∴cos＜ n→，CB→ ＞= n→⋅CB→|n→||CB→| = 41525⋅4 = 32 ．∴BC与平面A'BD所成角的正弦值为 32 ．

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