题目

已知等差数列中， ， ， 数列满足 ， ． （1） 求 ， 的通项公式； （2） 记为数列的前项和，试比较与的大小； （3） 任意 ， ， 求数列的前项和． 答案： 解：由题意可得：{a1+3d=2a1+4d=3d，解得：{a1=−1d=1，故an=−1+(n−1)×1=n−2因为数列{bn}满足b1=2，bn+1=2bn，所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn=2⋅2n−1=2n， 解：由（1）知：an+1⋅an=(n−2)(n−1)=n2−3n+2，Sn=n(−1+n−2)2=n(n−3)2，所以Sn+1=(n+1)(n−2)2所以2Sn+1=(n+1)(n−2)=n2−n−2，所以an+1⋅an−2Sn+1=−2n+4，所以当n<2时，an+1⋅an>2Sn+1，当n=2时，an+1⋅an=2Sn+1，当n≥3时，an+1⋅an<2Sn+1； 解：当n为奇数时，cn=n2n，当n为偶数时，cn=−(3n−4)(n−4)2n=−3n2+16n−162n=n2−4n2+16n−162n=n22n−4n2−16n+162n=n22n−n2−4n+42n−2=n22n−(n−2)22n−2对于任意正整数n，有∑k=1nc2k−1=c1+c3+⋯+c2k−1=121+323+⋯+2n−122n−1①，14∑k=1nc2k−1=123+⋯+2n−322n−1+2n−122n+1②，①−②得34∑k=1nc2k−1=12+223+⋯+222n−1−2n−122n+1=1−14n1−14−12−2n−122n+1=43−43⋅4n−12−2n−12⋅4n=56−8+6n−36⋅4n，所以∑k=1nc2k−1=109−6n+518×4n−1，以及∑i=1nc2i=c2+c4+⋯+c2n=2222−0220+4224−2222+6226−4224+8228−6226+⋯+(2n)222n−(2n−2)222n−2=−0220+4n24n=n24n−1，因此∑k=12nck=∑k=1nc2k−1+∑k=1nc2k=109−6n+518×4n−1+n24n−1，所以，数列{cn}的前2 n项和为109−6n+518×4n−1+n24n−1.

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