题目

已知函数 ． （1） 判断函数f（x）的奇偶性，并证明； （2） 利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数． 答案： 解：f（x）为奇函数．证明如下： ∵2x+1≠0，∴f（x）的定义域为R，又∵ f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x) ，∴f（x）为奇函数 解： f(x)=1−22x+1 ， 任取x1、x2∈R，设x1＜x2，∵ f(x1)−f(x2)=(1−22x1+1)−(1−22x2+1) = 2(12x2+1−12x1+1) = 2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1) ，∵ x1<x2∴2x1<2x2 ，∴ 2x1−2x2<0 ，又 2x1+1>0 , 2x2+1>0 ，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在其定义域R上是增函数

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