题目

如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，直线BC的解析式为y＝x﹣4． （1） 求抛物线的解析式； （2） 若点P为直线BC下方抛物线上的一点连接PB、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围； （3） 点Q在抛物线上，连接CQ，当tan∠QCB＝ 时，连接AQ交直线BC于点M，求 的值． 答案： 解：直线BC的解析式为 y=x−4 ． 令 x=0 ，解得 y=−4 ，则 C(0，−4) 令 y=0 ，解得 x=4 ，则 B(4，0) ， 将 B(4，0)，C(0，−4) 代入 y=x2+bx+c ，得， {0=16+4b+c−4=c 解得 {b=−3c=−4 ∴y=x2−3x−4 解： ∵ 点P为直线BC下方抛物线上的一点连接PB、PC，设点P的横坐标为t， ∴ P(t，t2−3t−4) ， 0<t<4 ， 过 P 作 PH⊥x 轴，交 y=x−4 于点 H ，则 H(t，t−4) ，如图， ∴PH=t−4−(t2−3t−4)=−t2+4t ， ∴S=12⋅PH⋅|xB−xC|=12×(−t2+4t)×4=−2t2+8t ； ∴ S=−2t2+8(0<t<4) 解： ∵ 抛物线的解析式为 y=x2−3x−4 ， 令 y=0 ，即 x2−3x−4=0 ， 解得 x1=−1，x2=4 ∴A(−1，0) 令 x=0，y=−4 ∴C(0，−4) ∵B(4，0) ， A(−1，0) ， C(0，−4) ①当 Q 点在 x 轴上方时，如图，过点 Q 作 QT⊥y 轴于点 T ， QS ⊥CM 于 S ，交 y 轴于点 R ，设 CQ 与 x 轴的交点为 D ，过点 Q，M 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G ， ∵ OB=OC=4 ∴∠OCB=45° ∵RS⊥CS ∴∠SRC=45° ∴RS=CS ， RC=2RS ∵tan∠QCB=17 ∴CS=7QS 设 QS=k ，则 CS=RS=7k 则 RQ=RQ−QS=6k ∴CR=72k ∵∠QRT=45°，QT⊥RT ∴TQ=sin∠QRT⋅RQ=sin45°⋅RQ=22×6k=32k=RT ∴TC=RC−RT=72k−32k=42 ∵tan∠OCD=ODOC=TQTC ， OC=4 ， TQ=32k，TC=42k ∴OD4=3242 ∴OD=3 ∴D(3，0) 设直线 CQ 的解析式为 y=kx+b ，将 C(0，−4)，D(3，0) 代入，则 {b=−43k+b=0 解得 {k=43b=−4 ∴ 直线 CQ 的解析式为 y=43x−4 ， 联立抛物线解析式 y=x2−3x−4 ，则 {y=43x−4y=x2−3x−4 解得 {x1=0y1=−4，{x2=133y2=169 ∴Q(133，169) 设直线 AQ 的解析式为 y=mx+n ，将 A(−1，0) ， Q(133，169) 代入得， {−m+n=0133m+n=169 解得 {m=13n=13 ∴ 直线 AQ 的解析式为 y=13x+13 联立直线 BC 解析式 y=x−4 ，则 {y=x−4y=13x+13 解得 {x=132y=52 ∴M(132，52) ∵QF⊥x 轴， MG⊥x 轴，则 F(133，0) ， G(132，0) ， A(−1，0) ∴ GF=132−133=136 ， GA=132+1=152 ∵QF//MG ∴MQMA=GFGA ∴MQMA=136152=1345 ②当 Q 点在 x 轴下方时，如图，过点 Q 作 QT⊥y 轴于点 T ， QS ⊥CM 于 S ，交 y 轴于点 R ，设 CQ 与 x 轴的交点为 D ，过点 Q，M 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G ， ∵ OB=OC=4 ∴∠OCB=45° ∵RS⊥CS ∴∠SRC=45° ∴RS=CS ， RC=2RS ∵tan∠QCB=17 ∴CS=7QS 设 QS=k ，则 CS=RS=7k 则 RQ=RQ+QS=8k ∴CR=72k ∵∠QRT=45°，QT⊥RT ∴TQ=sin∠QRT⋅RQ=sin45°⋅RQ=22×8k=42k=RT ∴TC=RC−RT=72k−42k=32 ∵tan∠OCD=ODOC=TQTC ， OC=4 ， TQ=42k，TC=32k ∴OD4=4232 ∴OD=163 ∴D(163，0) 设直线 CQ 的解析式为 y=kx+b ，将 C(0，−4)，D(163，0) 代入，则 {b=−4163k+b=0 解得 {k=34b=−4 ∴ 直线 CQ 的解析式为 y=34x−4 ， 联立抛物线解析式 y=x2−3x−4 ，则 {y=34x−4y=x2−3x−4 解得 {x1=0y1=−4，{x2=154y2=−1916 ∴Q(154，−1916) 设直线 AQ 的解析式为 y=mx+n ，将 A(−1，0) ， Q(154，−1916) 代入得， {−m+n=0154m+n=−1916 解得 {m=−14n=−14 ∴ 直线 AQ 的解析式为 y=−14x−14 联立直线 BC 解析式 y=x−4 ，则 {y=x−4y=−14x−14 解得 {x=3y=−1 ∴M(3，−1) ∵QF⊥x 轴， MG⊥x 轴，则 F(154，0) ， G(3，0) ， A(−1，0) ∴ FG=154−3=34 ， GA=3+1=4 ∵QF//MG ∴MQMA=GFGA ∴MQMA=344=316 综上所述， MQMA 的值为 1345 或者 316

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