题目

抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）． （1） 求抛物线的解析式； （2） 如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标； （3） 如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由． 答案： 解：由题意得： {−1+b+c=0c=3 ，解得： {b=2c=3  ，∴抛物线解析式为 y=−x2+2x+3 解：令 −x2+2x+3=0 ，∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b′，∴ {b′=33k+b′=0 ，解得： {b′=3k=−1 ，∴直线BC的解析式为 y=−x+3 ，设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=12PD⋅a+12PD⋅(3−a)=32PD=32(−a2+3a)=−32(a+278 ，∴当 a=32 时，△BDC的面积最大，此时P（ 32 ， 32 ） 解：由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴OF=1，EF=4，OC=3，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，当M在EF左侧时，∵∠MNC=90°，则△MNF∽△NCH，∴ MFNH=FNBC ，设FN=n，则NH=3-n，∴ 1−m3−n=n1 ，即n2-3n-m+1=0，关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，得m≥ −54 ，当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，∵FM=EF=4，∴OM=5，即N为点E时，OM=5，∴m≤5，综上，m的变化范围为： −54 ≤m≤5

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