题目

如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点． （1） 求此抛物线的解析式． （2） 当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标． （3） 若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由． 答案： 解：设抛物线为 y=a(x−2)2+k ∵二次函数的图象过点 A(−1，0)，C(0.5) ∴ {9a+k=04a+k=5 解得 {a=−1k=9 ∴二次函数得关系式为 y=−(x−2)2+9 即 y=−x2++4x+5 解：当a=1时， E(1，0)，F(2，0) 设p点的坐标为 (x，−x2+4x+5) 过点p作y轴的垂线，垂足为G 则四边形MEFP面积 S=S四边形−S△MGP−S△EOM =12(OF+GP)⋅OG−12GP⋅MG−12OE⋅OM =12(2+x)(−x2+4x+5)−12x(−x2+4x+5−1)−12×1× =−x2+92x+92 =−(x−94)2+15316 所以，当 x=94 时，则四边形MEFP的面积最大，最大值为 15316 此时点p的坐标为 (94，15316) 解：如图， EF=1，点把点M向右平移一个单位得点 M1 ，做点 M1 关于x轴的对称点 M2 在四边形FMEF中，因为边PM，EF为固定值，所以要使四边形FMEF周长最小，ME+PF最小，因为MB=M1F=M2F，所以只要使M2F+PF最小即可，所以点F应该是直线M2P与x轴的交点，由OM=1，OC=5，得点P的纵坐标为3，根据y=-x2+4x+5可求得点P(2+ 6 ，3) 又点M坐标为(1，-1)， 所以直线M2P的解析式为：y =46−45x−46+15 当y=0时，求得x≈ x=6+54 ，∴ F(6+54，0) ∴ a+1=6+54，a=6+14 所以，当 a=6+14 时，四边形FMEF周长最小

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