题目

已知△ 是边长为8的等边三角形，点 在 边上（异于 ， ）. （1） 若线段 长度为整数，求 ； （2） 若 ，求 . 答案： 由题意， A 到 BC 的距离为 8sin60°=43 ， ∴ 6<43<AD<8 ，又 AD 的长度为整数， ∴ AD=7 ， 在△ ABD 中，由余弦定理： AD2=AB2+BD2−2AB×BD×cosB ，即 49=64+BD2−8BD ，解得 BD=5 或3. 解法一：在△ ABD 中，由正弦定理： BDsin∠BAD=ADsin60° ， 在△ ACD 中，由正弦定理： CDsin∠CAD=ADsin60° ， ∴ BDsin∠BAD=CDsin∠CAD ，即 BDCD=sin∠BADsin∠CAD=3 ， 又 BD+CD=8 ，则 BD=6 ， 在△ ABD 中，由余弦定理： AD2=AB2+BD2−2AB×BD×cos60°=64+36−48=52 ， ∴ AD=213 ，则 cos∠BAD=AB2+AD2−BD22AB⋅AD=64+52−362×8×213=51326 . 解法二：设 ∠BAD=α ，则 ∠CAD=60°−α ，由题意有： sinαsin(60°−α)=3 ， ∴ sinα=3sin60°cosα−3cos60°sinα ，即 5sinα=33cosα ， 由 sin2α+cos2α=1 ，可得 cos2α=2552 ，又 α 是锐角， ∴ cosα=51326 .

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