题目

在直角坐标系 中，点 在曲线 ： （ 为参数）上，对应参数为 .以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的极坐标为 . （1） 直接写出点 的直角坐标和曲线 的极坐标方程； （2） 设 ， 是曲线 上的两个动点，且 ，求 的最小值. 答案： 解：点 P 的直角坐标为 (3,1) ， 曲线 C 的极坐标方程为 ρ2=41+3cos2θ 解：由（1）知曲线 C ： ρ2=41+3cos2θ . 由 A ， B 是曲线 C 上的两个动点，且 OA⊥OB ， 不妨设 A(ρ1,θ) ， B(ρ2,θ+π2) ，且 |OA|2=ρ12=41+3cos2θ ， |OB|2=ρ22=41+3cos2(θ+π2)=41+3sin2θ . ∴ |OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=41+3sin2θ+41+3cos2θ =20(1+3sin2θ)(1+3cos2θ)=204+94sin22θ ≥204+94=165 . 当 sin22θ=1 时， |OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=165 . ∴ |OA|2+|OB|2 的最小值为 165 .

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