题目

椭圆 的上顶点A ， 右焦点F ， 其上一点 ，以 为直径的圆经过F. （1） 求椭圆C的方程； （2） 直线l与椭圆C有且只有一个公共点.求证：在x轴上存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1. 答案： 由题设知 F(c，0) ， A(0，b) ， 由 FA→⋅FP→=0 ，得 c2−43c+b23=0 ① 又点P在椭圆C上， ∴169a2+b29b2=1⇒a2=2 ② b2+c2=a2=2 ③ ①③联立解得， c=1 ， b2=1 故所求椭圆的方程为 x22+y2=1 设动直线l的方程为 y=kx+m ，代入椭圆方程，消去y，整理， 得 (2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0 （*） 方程（*）有且只有一个实根，又 2k2+1>0 ， 所以 Δ=0 ，得 m2=2k2+1 假设存在 M1(λ1，0) ， M2(λ2，0) 满足题设，则由 d1⋅d2=|(λ1k+m)(λ2k+m)|k2+1=|(λ1λ2+2)k2+(λ1+λ2)km+1k2+1|=1 对任意的实数k恒成立. 所以， {λ1λ2+2=1λ1+λ2=0 解得， {λ1=1λ2=−1 或 {λ1=−1λ2=1 ， 所以，存在两个定点 M1(1，0) ， M2(−1，0) ，它们恰好是椭圆的两个焦点.

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