题目

亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城市地标． （1） 某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点 距地面的高度，选取了与点 在地面上的射影 在同一水平面内的两个测量基点 （如图所示）；现测得 ，BC两点间的距离是 米，求最高点 距地面的高度 ； （2） 若摩天轮最低点 距地面的距离 米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要 分钟． ①从游客进人摩天轮位于最低点 处的轿厢开始计时，转动 分钟后距离地面的高度为 米，求在转动一周的过程中， （单位：米）关于 （单位：分钟）的函数解析式； ②若只有当轿厢的高度 超过 米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景． 答案： 解：由题意得： ∠BAC=120∘ ， 在 △ABC 中，由正弦定理得： ACsin∠ABC=BCsin∠BAC ， 即 AC=39032×12=3903=1303 ， 又 PA⊥AC，∠PAC=30∘ ， 所以 PAAC=tan30∘=33 ，即 PA=33×AC=33×1303=130 ， 所以最高点 P 距地面的高度 PA=130 米. 解：①以 PQ 的中点 O 为坐标原点， PQ 所在的直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为 PA=130 ， QA=20 ， 所以摩天轮的半径为 r=130−202=55 米，所以 OA=75 米， 由题意知： 20 分钟转一周，所以每分钟转 2π20=π10 弧度， 设从 Q 点开始计时，转动 t 分钟后轿厢运到到 M 点，则转过的 ∠QOM=π10t 弧度， 所以 ∠xOM=π10t−π2 ， 设 M(x0，y0) ，由三角函数的定义可得：y0=55sin（π10t-π2）=-55cosπ10t ， 又因为 h=y0+OA=75−55cosπ10t (0≤t≤20)   所以游客距地面的高度 h 关于 t 的函数解析式为 h=75−55cosπ10t (0≤t≤20) . ②当轿厢的高度 h 超过 47.5 米时，即 75−55cosπ10t>47.5 ， 所以 55cosπ10t<27.5 ，即 cosπ10t<12 ， 所以 π3+2kπ<π10t<5π3+2kπ ，解得 103+20k<t<503+20k (k∈Z) ， 因为 0≤t≤20 ，所以只有当 k=0 时， 103<t<503 符合题意， 即旋转一周中有 503−103=403 分钟可以俯瞰东昌湖的美景.

查看本题答案和解析