题目

如图．在四棱锥 中， ， ， 平面ABCD，且 ． ， ，M、N分别为棱PC，PB的中点. （1） 证明：A，D，M，N四点共面，且 平面ADMN； （2） 求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值． 答案： 解：证明因为M，N分别为PC，PB的中点，所以 MN//BC ； 又因为 AD//BC ，所以 MN//AD ．从而A，D，M，N四点共面； 因为 PA⊥ 平面ABCD， AD⊂ 平面ABCD．所以 PA⊥AD ， 又因为 AD⊥AB ， AB∩PA=A ，所以 AD⊥ 平面PAB，从而 AD⊥PB ， 因为 AP=AB ，且N为PB的中点，所以 PB⊥AN ； 又因为 AN∩AD=A ，所以 PB⊥ 平面ADMN； 解：如图，连结DN； 由（1）知 PB⊥ 平面ADMN， 所以，DN为直线BD在平面ADMN内的射影，且 DN⊥BN ， 所以， ∠BDN 即为直线BD与平面ADMN所成的角： 在直角梯形ABCD内，过C作 CH⊥AD 于H，则四边形ABCH为矩形； CH=AB=3,    AH=BC=1 ，在 R△CDH 中， DH=CHtan∠ADC=33=1 ； 所以， AD=AH+DH=2 ， BD=AD2+AB2=7 ， 在 Rt△BDN 中， ∠BND=90° ， BN=12PB=62 ， BD=7 ， 所以 sin∠BDN=BNBD=627=4214 . 综上，直线BD与平面ADMN所成角的正弦值为 4214 .

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