题目

我们为了探究函数 的部分性质，先列表如下：…0.511.51.71.922.12.22.33457……8.554.174.054.00544.0044.024.044.355.87.57…观察表中 值随 值变化的特点，完成以下的问题.首先比较容易看得出来：此函数在区间 上是递减的； （1） 函数 在区间上递增，当 时， =. （2） 请你根据上面性质作出此函数的大概图像； （3） 试用函数单调性的定义证明：函数 在区间 上为减函数. 答案： 【1】(2，+∞)【2】2【3】4 解： 证明：任取 x1，x2∈(0，2) ，且 x1<x2f(x1)−f(x2)=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)=(x1−x2)−4(x1−x2)x1x2=(x1−x2)(x1x2−4)x1x2∵ x1<x2 ，∴ x1−x2<0 ，又 x1，x2∈(0，2) ，∴ x1x2−4<0 ， x1x2>0∴ (x1−x2)(x1x2−4)x1x2>0 ，所以 f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函数 f(x) 在区间（0，2）上是单调递减的

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