题目

已知函数f(x)＝ . （1） 判断函数f(x)的奇偶性； （2） 判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性． （3） 若对任意的t 1，不等式f( )＋f( )<0恒成立，求k的取值范围． 答案： 解：∵2x＋1≠0，∴函数 f(x) 的定义域为R，关于原点对称． ∵ f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x) ， ∴函数 f(x) 为奇函数． 解：函数 f(x) 在定义域上为增函数．证明如下： 设 x1,x2∈R ，且 x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=2x1−12x1+1−2x2−12x2+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1) ， ∵y＝2x在 (－∞,＋∞) 上是增函数，且 x1<x2 ， ∴ 2x1−2x2<0 ， ∴ f(x1)−f(x2)<0 ， ∴ f(x1)<f(x2) ， ∴函数 f(x) 在定义域内是增函数． 解：∵ f(k•3t)+f(3t−9t+2)<0 ， ∴ f(k•3t)<−f(3t−9t+2) ． ∵函数 f(x) 是奇函数， ∴ f(k•3t)<f(−3t+9t−2) ． 又函数 f(x) 在定义域内是增函数， ∴ k<3t<−3t+9t−2 对任意 t≥ 1恒成立， ∴ k<3t−23t−1 对任意t ≥ 1恒成立． 令 m=3t , t≥1 ，则 m≥3 ， ∵函数 g(m)=m−2m−1 在 [3,+∞) 上是增函数， ∴ g(m)min=g(3)=43 ， ∴ k<43 ， ∴实数 k 的取值范围为 (−∞,43)

查看本题答案和解析