题目

如图， 是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点，连接BD，CD，过点D作DP∥BC与AC的延长线交于点P． （1） 求证：△ABD∽△ADP （2） 求证：DP是⊙O的切线； （3） 当AB＝5cm，AC＝12cm 时，求线段PC的长．  答案： 证明：∵ ∠BAC  的平分线交 ⊙O  于点 D ∴∠BAD=∠DAP， 又∵ DP//BC ，∴∠ACB=∠APD 又∠ACB=∠ADB，∴∠APD=∠ADB ∴△ABD∽△ADP 证明：如图，连接 OD  ， ∵BC  是 ⊙O  的直径， ∴∠BAC=90°  ， ∵AD  平分 ∠BAC  ， ∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°  ， 由圆周角定理得： ∠COD=2∠CAD=90°  ， ∴OD⊥BC  ， 又 DP//BC ， ∴OD⊥DP   ∴ DP 是 ⊙O 的切线 解： ∵∠BAC=90°，AB=5cm，AC=12cm  ，  ∴BC=AB2+AC2=13cm  ， ∴OC=OD=12BC=132cm  ， 在 Rt△COD  中， CD=OC2+OD2=1322cm  ， 由圆周角定理得： ∠CBD=∠CAD=45°，∠BCD=∠BAD=45°  ， ∴∠CBD=∠BCD  ， ∴BD=CD=1322cm  ， 又 ∵∠ADB=∠ACB  ， DP//BC  ， ∴∠ACB=∠P  ， ∴∠ADB=∠P  ， 由圆内接四边形的性质得： ∠ABD+∠ACD=180°  ， ∵∠DCP+∠ACD=180°  ， ∴∠ABD=∠DCP  ， ∴△ABD∼△DCP ∴PCBD=CDAB  ，即 PC1322=13225  ，解得 PC=16.9(cm)

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