题目

已知点列 满足： ， 是自然数，且 ， ， . （1） 若 ，求 的表达式； （2） 已知点 ，记 ，且数列 单调递减，求 的取值范围； （3） 设（2）中的数列 的前 项和为 ，证明： . 答案： 解： ∵A0(−1,0) ， A1(1,0) ， ∴ A0An→⋅A1An+1→=(xn+1)(xn+1−1)=a−1 ， ∴xn+1=f(xn)=a−1xn+1+1=xn+axn+1 ， ∴f(x)=x+ax+1 . 解： ∵ BAn→=(xn−a,0) ， ∴an=|BAn|=|xn−a| ， ∵an+1=|xn+1−a|=|f(xn)−a|=|xn+axn+1−a| =(a−1)|xn+1|⋅|xn−a|<(a−1)⋅|xn−a|=(a−1)an ， 要使 an+1<an 成立，只要 0<a−1≤1 ， 即 1<a≤4 . ∴ a 的取值范围为 (1,4] . 解： an+1=(a−1)|xn−a|<(a−1)2|xn−1−a|<⋯ <(a−1)n|x1−a|=(a−1)n+1` ， ∴an<(a−1)n ， ∴Sn=a1+a2+⋯+an<(a−1)+(a−1)2+⋯+(a−1)n =(a−1)⋅[1−(a−1)n]2−a ， ∵1<a≤4 ， ∴0<a−1≤1 ， ∴0<(a−1)n≤1 ， ∴Sn<a−12−a .

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