题目

已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1） 如图1，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由； （2） 如图2，在（1）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，若BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝5∠DBE，求∠ABE的度数． 答案： 如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴∠ABD+∠BAD=90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥AM， ∴CN∥BG， ∴∠C=∠CBG， ∴∠ABD=∠C， ∴∠C+∠BAD=90°； 如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（1）可得∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β，则 ∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=5∠DBE=5α， ∴∠AFC=5α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=5α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得 （2α+β）+5α+（5α+β）=180°，① 由AB⊥BC，可得 β+β+2α=90°，② 由①②联立方程组，解得α=9°， ∴∠ABE=9°．

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