题目

如图所示，竖直平面内的 圆弧形光滑管道半径为R，A端与圆心O等高，AD为与水平方向成 角的斜面，B端在O的正上方，一个质量为m的直径约小于管道直径的小球在A点正上方某处由静止开始释放，自由下落至A点后进入圆形管道并沿圆形管道运动到B点，速度为 。整个过程中，小球可以看作质点，求： （1） 小球到B点时对管道作用力的大小和方向？ （2） 判断小球能否运动到斜面上，如果能运动到斜面上求出小球从B点落到斜面上的时间，如果不能请说明理由。 （3） 如果小球能落到斜面上，假设小球落到斜面上C点，求出此时的速度大小和方向（方向用速度与水平方向的夹角的正切值表示）。 答案： 解：假设小球受到的作用力竖直向下，由牛顿第二定律有 mg+F=mvB2R F=mvB2r−mg=4mg 求得正值，假设成立，小球受到的外轨道向下的压力，由牛顿第三定律可知：小球对管道上侧有竖直向上的压力，大小为4mg . 解：设小球从B点以速度v抛出，刚好落在A点，由平抛运动规律得： R=v0t R=12gt2 v0=gR2<vB 可以落在斜面上小球落在斜面上，设水平位移为x，竖直位移为y，由平抛运动规律得： tan45°=yx x=vBt y=12gt2 所以 t=2vBgtanθ=25Rg 解：小球落在C点 vx=vB=5gR vy=gt=25gR vC=vx2+vy2=5gR 假设速度方向与水平方向成θ角为： tanθ=vyvx=2

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