题目

在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式 ， 若____，求： （1） 展开式中二项式系数最大的项； （2） 展开式中所有的有理项． 答案： 解：选①，由Cn0+Cn1+Cn2=22，得n=6（负值舍去）．选②，令x=1，可得展开式中所有项的系数之和为0．由Cn0+Cn1+⋯+Cnn−0=2n=64，得n=6．选③，设第r+1项为常数项，Tr+1=Cnr(−1)rxn−3r2，由{r=2n−3r2=0，得n=6．由n=6得展开式的二项式系数最大为C63，则展开式中二项式系数最大的项为T4=C63(−1)3x−32=−20x−32 解：设第r+1项为有理项，Tr+1=C6r(−1)rx6−3r2，因为0≤r≤6，r∈N，6−3r2∈Z，所以r=0，2，4，6，则有理项为T1=C60x3=x3，T3=C62x0=15，T5=C64x−3=15x−3，T7=C66x−6=x−6．

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