题目

在斜三角形 中，已知 ， . （1） 求A； （2） 设 ，若 ，求 的值. 答案： 解：在斜三角形 ABC 中， A+B+C=π ， tanA=tan(π−B−C)=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBtanC=−1 . 又 0<A<π ，所以 A=3π4 . 由 sin(x+B)sin(x+C)cos2x=sinA ， 得 (sinxcosB+cosxsinB)(sinxcosC+cosxsinC)cos2x=sinA ， 即 cosBcosCtan2x+sin(B+C)tanx+sinBsinC=sinA (※). 由（1）知 A=3π4 ，所以 sin(B+C)=sinπ4=22 . 由 tanB+tanC=56 ，得 sinBcosC+cosBsinCcosBcosC=56 ， 即 sin(B+C)=56cosBcosC ，所以 cosBcosC=325 . 由 cos(B+C)=cosπ4 ，得 cosBcosC−sinBsinC=22 ， 所以 sinBsinC=210 . 所以※式可化为 6tan2x+5tanx−4=0 ，解得 tanx=−43 或 tanx=12 . 因为 0<x<π2 ，所以 tanx=12 .

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