题目

已知函数 （其中 为参数）. （1） 求函数 的单调区间； （2） 若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值集合； （3） 证明： （其中 ， 为自然对数的底数）. 答案： 解： f′(x)=x−ax ， x∈(0，+∞) ， 当 a≤0 时， f′(x)>0 ， ∴f(x) 在 (0，+∞) 上递增， 当 a>0 时，令 f′(x)=0 ，得 x=a ， x∈(0，a) 时， f(x) 单调递减， x∈(a，+∞) 时， f(x) 单调递增； 综上： a≤0 时， f(x) 在 (0，+∞) 上递增，无减区间， 当 a>0 时， f(x) 的单调递减区间为 (0，a) ，单调递增区间为 (a，+∞) 解：由（1）知 a≤0 时， f(x) 在 (0，+∞) 上递增， 而 f(1)=0 ，所以 x∈(0，1) 时， f(x)<0 ， 此时 f(x)≥0 不成立，故 a>0 ， 由（1）得： f(x)极小值=f(a)=a−1−alna . ∵ 对任意 x∈(0，+∞) ，都有 f(x)≥0 恒成立， ∴f(x)极小值=f(a)=a−1−alna≥0 . f′(a)=1−1−lna=−lna ， 当 a∈(0，1) 时 f′(a)>0 ，当 a∈(1，+∞) ， f′(a)<0 ， 所以 f(a) 在 (0，1) 上为增函数，在 (1，+∞) 为减函数， 考虑当 a=1 时 f(1)=1−1−ln1=0 ，所以 f(a)≤0⇒f(a)=0⇒a=1 ， ∴ 实数 a 的取值集合为{1}. 证明：由（2）可得 x−1>lnx，x∈(1，+∞) ，令 x=1+1n ， n∈N* ， 则 1+1n−1>ln(1+1n) 即 1n>ln(1+1n) ，所以 1>nln(1+1n) ， 故 (1+1n)n<e . 由（2）可得 x−1>lnx，x∈(0，1) ，令 x=nn+1 ， n∈N* ， 则 nn+1−1>ln(nn+1) 即 1n+1<ln(1+1n) ，所以 1<(n+1)ln(1+1n) ， 故 e<(1+1n)n+1 . 综上， (1+1n)n<e<(1+1n)n+1

查看本题答案和解析