题目

四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， 为 的中点， 为 的中点，平面 底面 . （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）若 与底面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值. 答案：解：（Ⅰ） ∵BC//__DF ∴ 四边形 BCDF 是平行四边形 ∴BF//CD . 又 ∵CD⊥AD ， ∴BF⊥AD . 又 ∵ 面 PAD⊥ 面 ABCD ，面 PAD∩ 面 ABCD=AD ， BF⊂ 面 ABCD ∴BF⊥ 面 PAD 且 BF⊂ 面 BEF ∴ 平面 BEF⊥ 平面 PAD . （Ⅱ）连结 PF ， ∵PA=PD ， F 为 AD 中点， ∴PF⊥AD 又 PF⊂ 平面 PAD ，平面 PAD⊥ 平面 ABCD ， 平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD ， ∴PF⊥ 底面 ABCD ， 又 BF⊥AD ，以 FA→ ， FB→ ， FP→ 分别为 x ， y ， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 P(0,0,t) ， C(−1,1,0) ，取平面 ABCD 的法向量 n1→=(0,0,1) ， PC→=(−1,1,−t) ， B(0,1,0) ， ∴sinπ3=|n1→⋅PC→||n1→|⋅|PC→| ， tt2+2=32 ， ∴t=6 ∴P(0,0,6) ， E(−12,12,62) 设平面 EBF 的法向量 n2→=(x,y,z) ， ∴{n2⇀⋅FE⇀=−12x+12y+62z=0n2⇀⋅FB⇀=y=0 ，令 z=1 ， ∴x=6 ， n2→=(6,0,1) . 设二面角 E−BF−A 的平面角为 θ ∴|cosθ|=|n1→⋅n2→||n1→|⋅|n2→|=77 又 θ 为钝角， ∴cosθ=−77 ，即二面角 E−BF−A 的余弦值为 −77 .

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