题目

已知函数 ，其中e是自然数的底数， ， （1） 当 时，解不等式 ； （2） 当 时，试判断：是否存在整数k，使得方程 在 上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由； （3） 若当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围. 答案： 解：由 (ax2+x)⋅ex>0 可得 ax2+x>0 即 ax(x+1a)>0 ， 由于 a<0 ，所以解集为 {x|0<x<−1a} . 解：当 a=0 时，方程 f(x)=(x+1)⋅ex+x−2 即为 ex+x−2=0 ， 设 h(x)=ex+x−2 ， 由于 y=ex 和 y=x−2 均为增函数，则 h(x) 也是增函数， 又因为 h(0)=e0+0−2=−1<0 ， h(1)=e1+1−2=e−1>0 ， 所以该函数的零点在区间 (0,1) 上，又由于函数为增函数，所以该函数有且仅有一个零点， 所以方程 ex+x−2=0 有且仅有一个根，且在 (0,1) 内，所以存在唯一的整数 k=0 . 解：当 x∈[−1,1] 时， f(x)+(2ax+1)⋅ex≥0 恒成立即不等式 ax2+(2a+1)x+1≥0 恒成立， 令 g(x)=ax2+(2a+1)x+1 ， 若 a=0 ，则 x+1≥0 ，该不等式满足在 x∈[−1,1] 时恒成立； 若 a≠0 ，由于 Δ=(2a+1)2−4a=4a2+1>0 ，  所以 g(x) 有两个零点，其图象的对称轴为 x=−2a+12a .  若 a>0 ，则 −2a+12a<−1 ，故 {a>0g(−1)≥0 即 {a>0a≤0 ，此时 a 无解； 若 a<0 ，则需满足 {a<0g(−1)≥0g(1)≥0 ，即 {a<0a≤0a≥−23 ，所以 −23≤a<0 . 综上所述，a的取值范围是 −23≤a≤0 .

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