题目

已知 是椭圆 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点． （1） 若 为等边三角形，求C的离心率； （2） 如果存在点P ， 使得 ，且 的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 答案： 解：连结 PF1 ，由 △POF2 为等边三角形可知：在 △F1PF2 中， ∠F1PF2=90∘ ， |PF2|=c ， |PF1|=3c ， 于是 2a=|PF1|+|PF2|=c+3c ， 故椭圆C的离心率为 e=ca=21+3=3−1 ； 解：由题意可知，满足条件的点 P(x,y) 存在，当且仅当 12|y|⋅2c=16 ， yx+c⋅yx−c=−1 ， x2a2+y2b2=1 ， 即 c|y|=16   ① x2+y2=c2    ② x2a2+y2b2=1    ③ 由②③以及 a2=b2+c2 得 y2=b4c2 ，又由①知 y2=162c2 ，故 b=4 ； 由②③得 x2=a2c2(c2−b2) ，所以 c2≥b2 ，从而 a2=b2+c2≥2b2=32 ，故 a≥42 ； 当 b=4 ， a≥42 时，存在满足条件的点 P . 故 b=4 ，a的取值范围为 [42,+∞) .

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